등비수열 계산기

기하급수적 수열 계산기: 설명 및 가이드

기하급수적 수열 계산기는 제공된 입력을 기반으로 기하급수적 수열의 항, 공비, 유한 합 및 무한 합을 계산하도록 설계된 강력한 도구입니다. 이는 기하급수적 수열 관련 문제를 해결하는 과정을 단순화하여 더 나은 이해를 위한 단계별 솔루션을 제공합니다.

기하급수적 수열이란 무엇인가요?

기하급수적 수열은 첫 번째 항 이후의 각 항이 이전 항에 고정된 비율인 공비((r))라는 비율을 곱하여 얻어지는 숫자의 수열입니다.

예를 들어: - 수열: (2, 6, 18, 54) - 공비: (r = \frac{6}{2} = 3)

일반적으로 기하급수적 수열의 (n)-번째 항은 다음과 같이 표현할 수 있습니다: [ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} ] 여기서: - (a_1)은 첫 번째 항, - (r)은 공비, - (n)은 수열에서 항의 위치입니다.

계산기의 기능

• 항 계산: 기하급수적 수열의 특정 항을 계산합니다.
• 공비 찾기: 연속 항 간의 비율을 결정합니다.
• (n)항의 합: 첫 번째 (n)항의 합((S_n))을 계산합니다.
• 무한 합: 해당되는 경우((|r| < 1)), 무한 합((S_\infty))을 계산합니다.
• 단계별 솔루션: 각 계산에 대한 자세한 설명을 제공합니다.

계산기 사용 방법

1. 데이터 입력:
2. (a_n)의 공식을 입력하거나 수열의 첫 세 항을 제공합니다.
3. 알고 있는 경우 공비((r))를 지정합니다.

4. 선택 사항: 합을 원하는 항의 수((n))를 입력합니다.

5. 예제 드롭다운:

6. 예제 드롭다운을 사용하여 미리 정의된 데이터를 선택하여 계산기가 어떻게 작동하는지 확인합니다.

7. 계산:

8. 계산 버튼을 클릭하여 결과를 계산합니다.

9. 결과에는 항, 공비, (n)항의 합 및 무한 합(존재하는 경우)이 포함됩니다.

10. 입력 지우기:

11. 지우기를 클릭하여 모든 입력 및 출력을 초기화합니다.

출력

계산기는 다음을 제공합니다: - 항: 입력에 따라 수열의 항을 표시합니다. - 공비: 항 간의 고정된 곱셈기를 보여줍니다. - (n)항의 합 ((S_n)): 다음 공식을 사용하여 합을 계산합니다: [ S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad \text{(if (r \neq 1))} ] - 무한 합 ((S_\infty)): (|r| < 1)에 대해 다음을 사용하여 무한 합을 계산합니다: [ S_\infty = \frac{a_1}{1 - r} ] - 단계별 설명: 투명성과 학습을 위한 자세한 계산을 제공합니다.

예제 사용 사례

예제 1

• 수열: (2, 6, 18)
• 공비: (r = 3)
• 첫 4항의 합: [ S_4 = 2 \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 80 ]

예제 2

• 공식: (a_n = 5 \cdot 2^{n-1})
• 수열: (5, 10, 20, \dots)
• 무한 합: [ S_\infty = \frac{5}{1 - 2} \quad \text{(적용되지 않음, (|r| > 1))} ]

자주 묻는 질문

기하급수적 수열이란 무엇인가요?

기하급수적 수열은 각 항이 이전 항에 고정된 숫자를 곱하여 얻어지는 숫자 시리즈입니다. 이 고정된 숫자를 공비((r))라고 합니다.

공비란 무엇인가요?

공비는 수열의 각 항이 다음 항을 얻기 위해 곱해지는 상수 값입니다. 이는 다음과 같이 계산됩니다: [ r = \frac{a_2}{a_1} ]

무한 합은 언제 존재하나요?

무한 합은 공비의 절대값이 1보다 작을 때만 존재합니다((|r| < 1)).

(n)항의 합((S_n))이란 무엇인가요?

기하급수적 수열의 첫 (n)항의 합은 다음과 같이 계산됩니다: [ S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad \text{if (r \neq 1)}. ]

공비가 1이면 어떻게 되나요?

(r = 1)인 경우, 수열은 일정해지며 합은 다음과 같습니다: [ S_n = n \cdot a_1 ]

드롭다운은 무엇을 하나요?

드롭다운은 사용자가 계산기가 어떻게 작동하는지 이해하는 데 도움이 되는 미리 정의된 예제를 제공합니다.

이 도구는 학생, 교육자 및 기하급수적 수열 계산을 단순화하려는 모든 사람에게 이상적입니다. 기하급수적 수열 계산기가 수학을 대신해 드립니다!