무한급수 계산기

분류：수열과 급수
- 2025년 6월 18일
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무한급수의 수렴, 부분합을 계산하고 수학적 급수를 분석합니다. 이 계산기는 학생, 수학자 및 엔지니어가 급수의 행동, 수렴 테스트 및 다양한 무한급수의 근사치를 이해하는 데 도움을 줍니다.

급수 정의

'n'을 인덱스 변수로 사용하세요 (지원: +, -, *, /, ^, sin, cos, ln, exp)
n₀
p/r
p-급수(p), 기하급수(r) 등

분석 옵션

항
부분합 계산을 위한 항의 수
자리

시각화 옵션

부터
부분합을 플로팅하기 위한 범위

고급 설정

ε
수렴 감지를 위한 임계값

무한급수 이론

무한급수는 무한히 많은 항의 합입니다. 수렴 행동을 이해하는 것은 미적분학, 물리학, 공학 및 수학적 분석의 응용에 중요합니다.

급수의 유형
  • 기하급수: ∑ar^n = a/(1-r) for |r| < 1
  • p-급수: ∑1/n^p는 p > 1일 때 수렴하고, p ≤ 1일 때 발산합니다.
  • 조화급수: ∑1/n은 발산합니다 (p = 1 경우)
  • 교대급수: ∑(-1)^n·a_n은 특별한 수렴 기준을 가집니다.
  • 멱급수: ∑a_n(x-c)^n은 수렴 반경을 가집니다.
  • 테일러/맥클로린 급수: 함수 표현을 멱급수로 나타냅니다.
수렴 테스트
  • 비율 테스트: lim|a_{n+1}/a_n| = L. L < 1일 때 수렴하고, L > 1일 때 발산합니다.
  • 근 테스트: lim|a_n|^{1/n} = L. L < 1일 때 수렴하고, L > 1일 때 발산합니다.
  • 적분 테스트: 해당 함수의 부정적분과 비교합니다.
  • 비교 테스트: 알려진 수렴/발산 급수와 비교합니다.
  • 극한 비교 테스트: 비교 급수와의 비율의 극한을 사용합니다.
  • 교대급수 테스트: 항이 감소하고 0에 접근하면 급수가 수렴합니다.
중요한 급수 값
  • 바젤 문제: ∑1/n² = π²/6 ≈ 1.6449
  • 리만 제타: ζ(s) = ∑1/n^s는 다양한 s 값에 대해 정의됩니다.
  • 지수: e^x = ∑x^n/n! (모든 x에 대해 수렴)
  • 사인 급수: sin(x) = ∑(-1)^n·x^{2n+1}/(2n+1)!
  • 코사인 급수: cos(x) = ∑(-1)^n·x^{2n}/(2n)!
  • 자연 로그: ln(1+x) = ∑(-1)^{n+1}·x^n/n for |x| < 1
응용
  • 수치 해석: 함수 및 적분 근사
  • 물리학: 파동 함수, 양자역학, 통계역학
  • 공학: 신호 처리, 제어 시스템, 푸리에 해석
  • 경제학: 현재 가치 계산, 성장 모델
  • 컴퓨터 과학: 알고리즘 분석, 생성 함수
  • 확률: 모멘트 생성 함수, 특성 함수
수렴 행동
  • 절대 수렴: ∑|a_n| 수렴 ⟹ ∑a_n 수렴
  • 조건부 수렴: ∑a_n 수렴하지만 ∑|a_n| 발산
  • 균일 수렴: 항별 연산에 중요합니다.
  • 수렴 속도: 부분합이 한계에 접근하는 속도
  • 수렴 반경: 멱급수가 수렴하는 영역

면책 조항: 이 계산기는 무한급수의 수치 근사 및 이론적 분석을 제공합니다. 결과는 계산 정밀도 제한에 따라 달라질 수 있으며 정확한 수학적 값을 반영하지 않을 수 있습니다. 엄밀한 증명 및 상세한 분석을 위해 수학 문헌을 참조하고 결과를 독립적으로 검증하십시오. 일부 급수는 이 계산기의 범위를 넘어서는 고급 기술이 필요할 수 있습니다.