복소수 계산기

- 2025년 5월 16일
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이 계산기는 i가 허수 단위인 형태 a + bi의 복소수로 연산을 수행하는 데 도움을 줍니다.

복소수 입력

+ i
+ i

연산

+ 덧셈
− 뺄셈
× 곱셈
÷ 나눗셈
z* 켤레
|z| 크기
arg(z) 인수
reiθ 극형태
z2 제곱
√z 제곱근
zn 거듭제곱
n√z n번째 근

표시 옵션

복소수에 대하여

복소수는 a + bi 형태의 수로, 여기서 a와 b는 실수이며, i는 i² = -1의 성질을 가진 허수 단위입니다. 복소수는 일차원 수직선의 개념을 이차원 복소 평면으로 확장합니다.

복소수의 주요 연산
  • 덧셈: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • 뺄셈: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
  • 곱셈: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
  • 나눗셈: (a + bi)/(c + di) = ((ac + bd)/(c² + d²)) + ((bc - ad)/(c² + d²))i
  • 켤레: (a + bi)* = a - bi
  • 크기: |a + bi| = √(a² + b²)
  • 인수: arg(a + bi) = tan⁻¹(b/a) (적절한 사분면 조정 포함)
복소수의 형태
  • 직사각형 형태: z = a + bi (카르테시안 좌표)
  • 극형태: z = r(cos θ + i sin θ) = re^(iθ) (여기서 r은 크기이고 θ는 인수입니다)
복소수의 응용

복소수는 다음과 같은 분야에서 필수적입니다:

  • 전기 공학 및 신호 처리
  • 양자 역학 및 물리학
  • 제어 이론 및 시스템 분석
  • 유체 역학 및 공기 역학
  • 컴퓨터 그래픽 및 프랙탈

복소수란 무엇인가?

복소수는 두 부분으로 구성된 숫자입니다:

  • 실수 부분: 일반 숫자로 표현됩니다 (예: 3).
  • 허수 부분: i로 곱해진 숫자로 표현되며, 여기서 i는 -1의 제곱근입니다.

복소수는 다음과 같은 형태로 작성됩니다:

a + bi

여기서:

  • a는 실수 부분입니다.
  • b는 허수 부분의 계수입니다.

예를 들어:

  • 2 + 3i는 복소수입니다.
  • 5 + 0i는 실수입니다 (허수 부분이 없음).
  • 0 + 4i는 순수 허수입니다.

복소수의 응용

복소수는 다양한 분야에서 사용됩니다:

  • 공학: 회로 분석, 신호 처리.
  • 수학: 이차 방정식 해결, 프랙탈.
  • 물리학: 파동 및 진동 표현.

복소수 계산기의 기능

  • 기본 산술: 두 복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈을 수행합니다.
  • 켤레 계산: 복소수의 켤레를 찾습니다.
  • 크기: 복소수의 크기를 계산합니다.
  • 극형태 변환: 복소수를 극좌표로 표현합니다.
  • 역수: 복소수의 역수를 계산합니다.
  • 단계별 설명: 각 계산의 세부 단계를 확인합니다.

복소수 계산기 사용 방법

1단계: 복소수 입력

  • 첫 번째 복소수의 실수 및 허수 부분을 복소수 1로 표시된 필드에 입력합니다.
  • 두 번째 복소수의 실수 및 허수 부분을 복소수 2로 표시된 필드에 입력합니다.

2단계: 연산 선택

  • 드롭다운 메뉴에서 연산을 선택합니다:
    • 덧셈 (+): 두 복소수를 더합니다.
    • 뺄셈 (-): 첫 번째 복소수에서 두 번째 복소수를 뺍니다.
    • 곱셈 (*): FOIL 방법을 사용하여 두 복소수를 곱합니다.
    • 나눗셈 (/): 첫 번째 복소수를 두 번째 복소수로 나눕니다.
    • 켤레: 첫 번째 복소수의 켤레를 찾습니다.
    • 크기: 첫 번째 복소수의 크기를 계산합니다.
    • 극형태: 첫 번째 복소수를 극좌표로 변환합니다.
    • 역수: 첫 번째 복소수의 역수를 계산합니다.

3단계: "계산" 클릭

  • "계산" 버튼을 눌러 계산을 수행합니다. 계산기는:
    • 결과 섹션에 결과를 표시합니다.
    • 각 계산 단계에 대한 자세한 분석을 제공합니다.

4단계: 필드 지우기

  • "지우기" 버튼을 눌러 모든 필드를 초기화하고 새 계산을 시작합니다.

예제 계산

예제 1: 덧셈

입력:

  • 복소수 1: 2 + 3i
  • 복소수 2: 4 + 5i
  • 연산: 덧셈

계산:

(2 + 3i) + (4 + 5i) = (2 + 4) + (3 + 5)i = 6 + 8i

출력:

  • 결과: 6 + 8i

예제 2: 극형태

입력:

  • 복소수: 2 + 3i
  • 연산: 극형태

계산:

r = sqrt(2^2 + 3^2) = sqrt(13) ≈ 3.61

θ = tan-1(3/2) ≈ 0.98 라디안

극형태 = 3.61(cos(0.98) + i sin(0.98))

출력:

  • 결과: 3.61(cos(0.98) + i sin(0.98))

자주 묻는 질문 (FAQ)

복소수의 FOIL 방법이란 무엇인가요?

FOIL 방법은 다음을 의미합니다:

  • F: 첫 번째 항을 곱합니다.
  • O: 외부 항을 곱합니다.
  • I: 내부 항을 곱합니다.
  • L: 마지막 항을 곱합니다.

두 복소수 (a + bi)와 (c + di)에 대해, FOIL은 곱셈을 다음과 같이 단순화합니다:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2

i^2 = -1이므로, 결과는 다음과 같습니다:

(ac - bd) + (ad + bc)i

복소수의 크기는 어떻게 계산하나요?

복소수 a + bi의 크기(또는 크기)는:

|a + bi| = sqrt(a^2 + b^2)

이는 복소수가 복소 평면에서 원점으로부터의 거리를 나타냅니다.

복소수의 켤레란 무엇인가요?

a + bi의 켤레는 a - bi입니다. 이는 허수 부분의 부호를 반전시켜 얻습니다.

복소수의 극형태란 무엇인가요?

a + bi의 극형태는:

r(cos θ + i sin θ)

여기서:

  • r = sqrt(a^2 + b^2) (크기)
  • θ = tan-1(b/a) (라디안 단위의 각도)

복소수로 0으로 나눌 수 있나요?

아니요, 0으로 나누는 것은 실수와 복소수 모두에서 정의되지 않습니다. 두 번째 복소수가 0 + 0i인 경우, 계산기는 오류를 표시합니다.

복소수 계산기의 장점

  • 교육적: 각 연산을 따라하기 쉬운 단계로 나눕니다.
  • 정확함: 복소수 산술을 정밀하게 처리합니다.
  • 다재다능함: 극형태 및 크기 계산과 같은 고급 연산을 포함합니다.
  • 사용자 친화적: 빠른 계산을 위한 간단한 인터페이스입니다.

이 계산기는 학생, 엔지니어 및 복소수와 작업하는 모든 사람에게 이상적입니다!