방향 미분 계산기
분류：미적분학
- 2025년 4월 19일
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방향 도함수란 무엇인가?
방향 도함수는 주어진 점에서 특정 방향으로 이동할 때 함수가 어떻게 변화하는지를 측정합니다. 이는 x나 y와 같은 개별 변수에만 집중하는 것이 아니라 벡터 방향을 고려하여 부분 도함수의 개념을 확장합니다.
- 간단히 말해, 특정 점에서 특정 방향으로 함수
f(x, y, z)의 변화율을 계산합니다. - 수학적으로는 다음과 같이 표시됩니다:
D_v f = ∇f ⋅ v̂
여기서:
- ∇f는 모든 변수에 대한 부분 도함수를 포함하는 함수의 기울기 벡터입니다.
- v̂는 정규화된 (단위 길이) 방향 벡터입니다.
- 방향 도함수의 결과는 주어진 방향에서 함수가 증가하는지, 감소하는지, 또는 일정한지를 알려주는 단일 숫자입니다.
방향 도함수 계산기의 주요 기능
- 동적 입력: 다변수 함수, 평가할 점, 방향 벡터를 입력합니다.
- 단계별 설명: 계산기는 기울기와 방향 도함수가 어떻게 계산되는지를 보여주는 자세한 단계를 제공합니다.
- 그래픽 시각화: 그래프는 방향 벡터를 따라 함수의 행동을 표시합니다.
- 내장 예제: 일반 함수에 대한 제공된 예제로 도구를 빠르게 테스트할 수 있습니다.
방향 도함수 계산기 사용 방법
입력 필드:
- 함수 입력:
x^2 + y^2 + z^2또는sin(x) * cos(y)와 같은 다변수 함수를 지정합니다. - 평가할 점: 도함수가 평가될 점을 제공합니다 (예:
1,1,1). - 방향 벡터: 도함수를 계산할 벡터를 입력합니다 (예:
1,2,3).
예제 드롭다운:
- 미리 정의된 예제를 선택하여 필드를 자동으로 채웁니다:
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2에서(1, 1, 1)방향v = (1, 1, 1)으로.f(x, y) = sin(x) * cos(y)에서(0, 0)방향v = (1, 1)으로.f(x, y) = e^(x + y)에서(1, 2)방향v = (0, 1)으로.
버튼:
- 계산: 계산을 수행하고 결과, 단계 및 그래프를 표시합니다.
- 지우기: 모든 입력 필드와 출력을 초기화합니다.
예제 설명: f(x, y) = sin(x) * cos(y)
입력:
- 함수:
sin(x) * cos(y) - 점:
(0, 0) - 방향 벡터:
(1, 1)
계산:
- 기울기 벡터 계산:
∂f/∂x = cos(x) * cos(y)-
∂f/∂y = -sin(x) * sin(y) -
(0, 0)에서 평가: ∂f/∂x(0, 0) = 1-
∂f/∂y(0, 0) = 0 -
방향 벡터
(1, 1)정규화: -
단위 벡터:
v̂ = (1/√2, 1/√2) -
방향 도함수 계산:
D_v f = (1, 0) ⋅ (1/√2, 1/√2) = 1/√2
결과:
- 방향 도함수:
1/√2
시각화:
- 그래프는 주어진 점에서 방향 벡터를 따라 함수의 행동을 보여줍니다.
계산기 사용의 이점
- 효율성: 지루한 수동 미분 및 평가를 자동화합니다.
- 명확성: 과정을 단계별로 설명하여 학습이나 검증에 이상적입니다.
- 다재다능성: 두 개 또는 세 개의 변수를 가진 함수를 처리하고 어떤 방향으로든 도함수를 계산합니다.
방향 도함수 계산기를 사용할 때
- 수학 및 물리학: 다변수 함수에서 기울기와 변화율을 분석합니다.
- 기계 학습 및 AI: 기울기 방향에 따라 비용 함수의 행동을 평가합니다.
- 공학 및 최적화: 특정 제약이나 방향에 따라 함수의 변화를 평가합니다.
그래픽 출력
- 방향 벡터를 따라 함수의 행동을 보여주는 그래프가 생성됩니다.
- x축은
t, 방향 벡터를 따라 거리입니다. - y축은 해당 거리에서의 함수 값
f(t)를 나타냅니다.