방향 미분 계산기
분류：미적분학
- 2025년 5월 16일
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주어진 벡터 방향에서 점에서 함수의 방향 미분을 계산합니다. 다변수 함수를 입력하고 점과 방향 벡터를 지정하여 해당 방향에서 함수가 어떻게 변하는지 계산합니다.
함수 입력
점과 방향
방향 도함수란 무엇인가?
방향 도함수는 주어진 점에서 특정 방향으로 이동할 때 함수가 어떻게 변화하는지를 측정합니다. 이는 x나 y와 같은 개별 변수에만 집중하는 것이 아니라 벡터 방향을 고려하여 부분 도함수의 개념을 확장합니다.
- 간단히 말해, 특정 점에서 특정 방향으로 함수
f(x, y, z)의 변화율을 계산합니다. - 수학적으로는 다음과 같이 표시됩니다:
D_v f = ∇f ⋅ v̂
여기서:
- ∇f는 모든 변수에 대한 부분 도함수를 포함하는 함수의 기울기 벡터입니다.
- v̂는 정규화된 (단위 길이) 방향 벡터입니다.
- 방향 도함수의 결과는 주어진 방향에서 함수가 증가하는지, 감소하는지, 또는 일정한지를 알려주는 단일 숫자입니다.
방향 도함수 계산기의 주요 기능
- 동적 입력: 다변수 함수, 평가할 점, 방향 벡터를 입력합니다.
- 단계별 설명: 계산기는 기울기와 방향 도함수가 어떻게 계산되는지를 보여주는 자세한 단계를 제공합니다.
- 그래픽 시각화: 그래프는 방향 벡터를 따라 함수의 행동을 표시합니다.
- 내장 예제: 일반 함수에 대한 제공된 예제로 도구를 빠르게 테스트할 수 있습니다.
방향 도함수 계산기 사용 방법
입력 필드:
- 함수 입력:
x^2 + y^2 + z^2또는sin(x) * cos(y)와 같은 다변수 함수를 지정합니다. - 평가할 점: 도함수가 평가될 점을 제공합니다 (예:
1,1,1). - 방향 벡터: 도함수를 계산할 벡터를 입력합니다 (예:
1,2,3).
예제 드롭다운:
- 미리 정의된 예제를 선택하여 필드를 자동으로 채웁니다:
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2에서(1, 1, 1)방향v = (1, 1, 1)으로.f(x, y) = sin(x) * cos(y)에서(0, 0)방향v = (1, 1)으로.f(x, y) = e^(x + y)에서(1, 2)방향v = (0, 1)으로.
버튼:
- 계산: 계산을 수행하고 결과, 단계 및 그래프를 표시합니다.
- 지우기: 모든 입력 필드와 출력을 초기화합니다.
예제 설명: f(x, y) = sin(x) * cos(y)
입력:
- 함수:
sin(x) * cos(y) - 점:
(0, 0) - 방향 벡터:
(1, 1)
계산:
- 기울기 벡터 계산:
∂f/∂x = cos(x) * cos(y)-
∂f/∂y = -sin(x) * sin(y) -
(0, 0)에서 평가: ∂f/∂x(0, 0) = 1-
∂f/∂y(0, 0) = 0 -
방향 벡터
(1, 1)정규화: -
단위 벡터:
v̂ = (1/√2, 1/√2) -
방향 도함수 계산:
D_v f = (1, 0) ⋅ (1/√2, 1/√2) = 1/√2
결과:
- 방향 도함수:
1/√2
시각화:
- 그래프는 주어진 점에서 방향 벡터를 따라 함수의 행동을 보여줍니다.
계산기 사용의 이점
- 효율성: 지루한 수동 미분 및 평가를 자동화합니다.
- 명확성: 과정을 단계별로 설명하여 학습이나 검증에 이상적입니다.
- 다재다능성: 두 개 또는 세 개의 변수를 가진 함수를 처리하고 어떤 방향으로든 도함수를 계산합니다.
방향 도함수 계산기를 사용할 때
- 수학 및 물리학: 다변수 함수에서 기울기와 변화율을 분석합니다.
- 기계 학습 및 AI: 기울기 방향에 따라 비용 함수의 행동을 평가합니다.
- 공학 및 최적화: 특정 제약이나 방향에 따라 함수의 변화를 평가합니다.
그래픽 출력
- 방향 벡터를 따라 함수의 행동을 보여주는 그래프가 생성됩니다.
- x축은
t, 방향 벡터를 따라 거리입니다. - y축은 해당 거리에서의 함수 값
f(t)를 나타냅니다.