이항 분포 계산기

분류：통계
- 2025년 7월 6일
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이항 분포의 매개변수 n(시행 횟수)과 p(성공 확률)에 대한 확률 질량 함수(PMF), 누적 분포 함수(CDF), 평균, 분산 및 기타 통계를 계산합니다.

매개변수 입력

계산 옵션

표시 옵션

이항 분포에 대하여

이항 분포는 고정된 수의 독립적인 시행에서 성공의 수를 모델링하는 이산 확률 분포입니다. 각 시행은 동일한 성공 확률을 가집니다.

주요 속성
  • 정의역: x ∈ {0, 1, 2, ..., n}
  • 평균: μ = n × p
  • 분산: σ² = n × p × (1-p)
  • 최빈값: ⌊(n+1)×p⌋ 또는 ⌊(n+1)×p-1⌋
  • 왜도: (1-2p)/√(n×p×(1-p))
이항 분포의 요구 사항
  1. 고정된 시행 횟수 (n)
  2. 각 시행은 독립적이다
  3. 각 시행은 정확히 두 가지 가능한 결과(성공/실패)를 가진다
  4. 모든 시행에 대해 성공 확률 (p)은 일정하다
응용

이항 분포는 다음과 같은 여러 분야에서 사용됩니다:

  • 품질 관리 (배치의 불량품 수)
  • 의학 (치료의 성공/실패)
  • 선거 및 여론 조사 (후보자에 대한 유권자의 비율)
  • 스포츠 (일련의 경기에서의 승패)
  • 유전학 (특성의 유전)
정규 근사

n의 값이 클 경우, 이항 분포는 평균 μ = n×p 및 분산 σ² = n×p×(1-p)를 가진 정규 분포로 근사할 수 있습니다. 이 근사는 n×p와 n×(1-p)가 모두 5보다 클 때 잘 작동합니다.

이항 분포란 무엇인가?

이항 분포는 이진 실험의 고정된 수의 독립적인 시행에서 성공의 수를 모델링하는 데 사용되는 확률 분포입니다. 각 시행은 성공 또는 실패로 결과를 낼 수 있으며, 성공의 확률은 시행 간에 일정하게 유지됩니다. 이 분포는 두 개의 매개변수에 의해 결정됩니다:

  • \( n \): 시행의 수.
  • \( p \): 각 시행의 성공 확률.

정확히 \( k \)개의 성공을 관찰할 확률은 다음 공식을 통해 주어집니다:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

여기서 \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)는 이항 계수로, \( n \)개의 시행 중 \( k \)개의 성공을 선택하는 방법의 수를 계산합니다.

이항 분포 계산기의 목적

이항 분포 계산기는 이항 확률 계산을 간소화합니다. 시간 절약과 오류 감소를 위해 설계되어 학생, 통계학자 및 확률을 다루는 전문가에게 이상적입니다. 이 도구는 \( n \)개의 시행에서 정확히 \( k \)개의 성공의 확률을 계산하며, 이해를 돕기 위해 단계별 설명을 제공합니다.

계산기의 주요 기능

  • 정확한 결과: 정확한 공식을 사용하여 이항 확률을 계산합니다.
  • 단계별 설명: 이항 계수, \( p \)의 거듭제곱 및 최종 확률을 포함한 계산의 세부 사항을 제공합니다.
  • 사용자 친화적인 디자인: 시행, 성공 및 성공 확률에 대한 간단한 입력 필드.
  • 오류 처리: 잘못된 입력이나 범위를 벗어난 값에 대해 명확한 메시지를 표시합니다.

이항 분포 계산기 사용 방법

이항 확률을 계산하려면 다음 단계를 따르세요:

  1. 시행 수 입력 (\( n \)): 총 시행 수를 양의 정수로 지정합니다.
  2. 성공 수 입력 (\( k \)): 원하는 성공 수를 양의 정수로 입력합니다. \( k \leq n \)인지 확인하세요.
  3. 성공 확률 입력 (\( p \)): 성공 확률을 0과 1 사이의 소수로 지정합니다 (예: 50%의 경우 0.5).
  4. 계산 클릭: 계산 버튼을 눌러 확률을 계산합니다.
  5. 결과 보기: 계산기가 확률과 자세한 계산 단계를 표시합니다.
  6. 입력 지우기: 지우기 버튼을 사용하여 입력을 초기화하고 새 계산을 수행합니다.

왜 이 계산기를 사용해야 하나요?

이 계산기는 이항 확률을 빠르고 정확하게 계산하는 강력한 도구입니다. 확률을 배우는 학생이든, 개념을 설명하는 교사이든, 데이터를 분석하는 전문가이든, 이 도구는 과정을 간소화하고 정확한 결과를 보장합니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

  • 이항 실험이란 무엇인가요?
    이항 실험은 \( n \)개의 독립적인 시행으로 구성된 통계적 실험으로, 각 시행은 성공 또는 실패라는 두 가지 가능한 결과를 가집니다.
  • 이 계산기를 1보다 큰 확률에 사용할 수 있나요?
    아니요, 성공 확률 (\( p \))은 항상 0과 1 사이여야 합니다.
  • \( k > n \)일 경우 어떻게 되나요?
    \( k > n \)인 경우, 성공의 수가 시행의 수를 초과할 수 없으므로 계산기가 오류를 표시합니다.
  • 계산기가 소수 확률을 처리하나요?
    네, 확률을 소수로 입력할 수 있습니다 (예: 25%의 경우 0.25).
  • 결과는 무엇을 나타내나요?
    결과는 지정된 성공 확률에 따라 \( n \)개의 시행에서 정확히 \( k \)개의 성공을 관찰할 확률을 나타냅니다.