접선 평면 계산기

분류：미적분학
- 2025년 9월 8일
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이 계산기는 주어진 점에서 표면의 접평면 방정식을 찾습니다. 접평면 방정식을 계산하고 표면과 평면을 시각화하려면 표면 방정식과 점 좌표를 입력하세요.

입력 표면

표시 옵션

접평면에 대하여

주어진 점에서의 표면에 대한 접평면은 그 점에서 표면에 접하고 접선 점에서 "평행"한 평면입니다. 이는 해당 점 근처의 표면에 대한 최선의 선형 근사입니다.

다양한 표면 유형에 대한 접평면 찾기
  1. 명시적 표면 (z = f(x,y)):

    표면 z = f(x,y)에 대해 점 (x₀, y₀, z₀)에서의 접평면은 다음과 같은 방정식을 가집니다:

    z - z₀ = f_x(x₀, y₀)(x - x₀) + f_y(x₀, y₀)(y - y₀)

    여기서 f_x와 f_y는 각각 x와 y에 대한 f의 편미분입니다.

  2. 암시적 표면 (F(x,y,z) = 0):

    표면 F(x,y,z) = 0에 대해 점 (x₀, y₀, z₀)에서의 접평면은 다음과 같은 방정식을 가집니다:

    F_x(x₀, y₀, z₀)(x - x₀) + F_y(x₀, y₀, z₀)(y - y₀) + F_z(x₀, y₀, z₀)(z - z₀) = 0

    여기서 F_x, F_y, F_z는 각각 x, y, z에 대한 F의 편미분입니다.

  3. 매개변수적 표면 (x,y,z = f(u,v)):

    매개변수화된 표면 x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v)에 대해 (u₀, v₀)에 해당하는 점에서의 접평면은 다음과 같은 법선 벡터를 가집니다:

    n = (∂r/∂u) × (∂r/∂v)

    여기서 r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))이며 ×는 벡터의 외적입니다.

접평면의 응용
  • 선형 근사: 접평면은 접선 점 근처의 표면에 대한 선형 근사를 제공합니다.
  • 미분 기하학: 접평면은 표면의 국소적 행동을 분석하는 데 도움을 줍니다.
  • 컴퓨터 그래픽: 접평면은 음영 및 조명 계산에 사용됩니다.
  • 최적화: 접평면은 제약 조건이 있는 함수의 극값을 찾는 데 도움을 줍니다.
  • 물리학: 접평면은 역학 및 전자기학에서 표면의 힘과 장을 분석하는 데 사용됩니다.
일반적인 예시
표면 점 접평면 방정식
z = x² + y² (1, 2, 5) z = 2x + 4y - 1
x² + y² + z² = 4 (0, 0, 2) z = 2
헬리코이드: x = u·cos(v), y = u·sin(v), z = v u=2, v=0 z = x/2

접선 평면 계산기: 목적 및 사용 방법

접선 평면이란?

접선 평면은 3차원 공간에서 특정 점에서 주어진 표면과 "딱 맞닿는" 평면입니다. 이는 해당 점 근처의 표면을 근사화한 것으로, 기하학, 미적분학 및 공학에서 지역적 행동을 이해하는 데 유용합니다. 접선 평면 방정식은 표면 방정식의 편미분과 주어진 점의 좌표를 사용하여 유도됩니다.

예를 들어, 표면 ( f(x, y, z) = k )에 대해 점 ( (x_0, y_0, z_0) )에서의 접선 평면은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다: [ \frac{\partial f}{\partial x}(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(y - y_0) + \frac{\partial f}{\partial z}(z - z_0) = 0 ]

이 방정식은 평면이 특정 점에서 표면에 접선이 되도록 보장합니다.

접선 평면 계산기 사용 방법

접선 평면 계산기는 표면 ( f(x, y, z) = k )의 주어진 점에서 접선 평면 방정식을 찾는 과정을 간소화합니다. 다음은 효과적으로 사용하는 방법입니다:

사용 단계:

  1. 함수 입력:

  2. 입력 필드에 표면 방정식 ( f(x, y, z) = k )를 입력합니다. 예: x^2 + y^2 + z^2 = 14.

  3. 점 지정:

  4. 접선 평면을 찾고자 하는 점 ( (x_0, y_0, z_0) )의 좌표를 입력합니다. 예: ( (1, 3, 2) ).

  5. 계산:

  6. "계산" 버튼을 클릭합니다. 계산기는:

    • ( x ), ( y ), ( z )에 대한 표면 방정식의 편미분을 계산합니다.
    • 편미분과 점을 접선 평면 방정식에 대입합니다.

  7. 해 보기:

  8. 계산기는 접선 평면 방정식과 계산의 세부 단계를 표시합니다.

  9. 그래프 시각화:

  10. 접선 평면과 표면 간의 관계를 이해하기 쉽게 단순화된 그래프가 표시됩니다.

  11. 입력 지우기:

  12. "모두 지우기"를 클릭하여 계산기를 기본 예제로 초기화합니다.

접선 평면 계산기의 주요 기능

  • 사용하기 쉬운 인터페이스: 깔끔하고 직관적인 레이아웃에서 표면 방정식과 점 좌표를 입력하세요.
  • 상세한 단계: 계산의 단계를 따라가며 과정을 이해하세요.
  • 그래픽 시각화: 접선 평면의 2D 표현을 확인하세요.
  • 미리 채워진 예제: 빠른 테스트를 위해 미리 로드된 예제로 시작하세요.

자주 묻는 질문

1. 어떤 종류의 방정식을 입력할 수 있나요?

형태가 ( f(x, y, z) = k )인 모든 방정식을 입력할 수 있습니다. 예를 들면: - ( x^2 + y^2 + z^2 = 14 ) - ( x^2 + y^2 - z = 10 )

2. 유효한 입력을 제공하지 않으면 어떻게 되나요?

계산기는 유효한 방정식과 점을 입력하라는 오류 메시지를 표시합니다.

3. 계산의 정확도는 얼마나 되나요?

계산기는 Math.js와 같은 고급 라이브러리를 사용하여 편미분을 계산하고 함수를 평가하여 높은 정확도를 보장합니다.

4. 암묵적 표면에 사용할 수 있나요?

네, 계산기는 ( f(x, y, z) = k )인 암묵적 표면을 처리하도록 특별히 설계되었습니다.

5. 계산기를 초기화할 수 있나요?

네, "모두 지우기"를 클릭하면 입력 필드가 기본 예제 값으로 초기화됩니다.

예제 설명

표면 방정식이 ( x^2 + y^2 + z^2 = 14 )이고 점이 ( (1, 3, 2) )라고 가정해 보겠습니다.

  1. 입력:
  2. 함수: x^2 + y^2 + z^2 = 14

  3. 점: ( (1, 3, 2) )

  4. 편미분:

  5. ( \frac{\partial f}{\partial x} = 2x )
  6. ( \frac{\partial f}{\partial y} = 2y )

  7. ( \frac{\partial f}{\partial z} = 2z )

  8. 값 대입:

  9. ( (1, 3, 2) )에서:

    • ( \frac{\partial f}{\partial x} = 2(1) = 2 )
    • ( \frac{\partial f}{\partial y} = 2(3) = 6 )
    • ( \frac{\partial f}{\partial z} = 2(2) = 4 )

  10. 접선 평면: [ 2(x - 1) + 6(y - 3) + 4(z - 2) = 0 ] 단순화: [ 2x + 6y + 4z = 28 ]

결론

접선 평면 계산기는 3차원 공간의 표면에 대한 접선 평면을 빠르고 정확하게 계산할 수 있는 강력한 도구입니다. 직관적인 인터페이스와 상세한 출력을 통해 미적분학이나 3D 기하학을 공부하는 학생, 엔지니어 및 연구자에게 적합합니다.