기하 분포 계산기

분류：통계
- 2025년 6월 4일
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성공 확률 p로 기하 분포의 확률 질량 함수(PMF), 누적 분포 함수(CDF), 평균, 분산 및 기타 통계량을 계산합니다.

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기하 분포에 대하여

기하 분포는 동일한 성공 확률 p를 가진 독립적인 베르누이 시도의 연속에서 첫 성공을 달성하는 데 필요한 시도 횟수를 모델링합니다.

두 가지 일반적인 변형
  • 시도 횟수: 첫 성공까지(포함) 총 시도 횟수를 계산합니다. 도메인: x ∈ {1, 2, 3, ...}
  • 실패 횟수: 첫 성공 이전의 실패만 계산합니다. 도메인: x ∈ {0, 1, 2, ...}

두 변형 모두 실제로 사용되므로, 어떤 변형을 사용하고 있는지 명확히 하는 것이 중요합니다.

주요 속성
  • 기억 없음 속성: P(X > s + t | X > s) = P(X > t)
  • 평균 (기대값): E[X] = 1/p (시도) 또는 (1-p)/p (실패)
  • 분산: Var(X) = (1-p)/p² (두 버전 모두)
  • 최빈값: 항상 1 (시도) 또는 0 (실패)
  • 왜도: (2-p)/√(1-p) > 0, 오른쪽으로 왜곡됨을 나타냅니다.
응용

기하 분포는 일반적으로 다음을 모델링하는 데 사용됩니다:

  • 성공을 달성하는 데 필요한 시도 횟수
  • 사건의 첫 발생까지의 대기 시간
  • 품질 관리 (결함을 찾을 때까지 검사한 항목 수)
  • 신뢰성 테스트 (장비 고장까지의 시도 횟수)
  • 우연 게임 (특정 결과가 나올 때까지의 주사위 굴림 수)
  • 고객 유치 또는 전환 프로세스 모델링
다른 분포와의 관계
  • 기하 분포는 r = 1 (하나의 성공)인 음의 이항 분포의 특별한 경우입니다.
  • 연속 지수 분포의 이산 아날로그입니다.
  • 지수 분포와 마찬가지로 유일한 이산 기억 없음 분포입니다.

기하학적 분포란 무엇인가?

기하학적 분포는 독립적인 베르누이 시행의 연속에서 첫 번째 성공을 달성하는 데 필요한 시행 횟수를 모델링하는 이산 확률 분포입니다. 각 시행은 두 가지 가능한 결과(성공 또는 실패)를 가집니다. 이는 특정 성공이 관찰될 때까지 사건이 발생하는 과정을 분석하기 위해 통계에서 널리 사용됩니다.

기하학적 분포에는 두 가지 유형이 있습니다:

  • 유형 1: \( X \)는 첫 번째 성공까지의 총 시행 횟수입니다.
  • 유형 2: \( X \)는 첫 번째 성공까지의 실패 횟수(성공 시행 제외)입니다.

기하학적 분포 계산기의 목적

이 계산기는 주어진 성공 확률(\( p \))과 시행 횟수(\( X \))에 대해 다음 확률을 계산하는 데 도움을 주기 위해 설계되었습니다:

  • \( P(X = x) \): 특정 시행에서 성공이 발생할 확률입니다.
  • \( P(X \leq x) \): \( x \) 시행 내에서 성공이 발생할 누적 확률입니다.

계산기는 두 가지 유형의 기하학적 분포에 대한 자세한 단계별 계산을 제공하여 사용자가 관련 문제를 이해하고 해결하는 데 용이합니다.

계산기의 주요 기능

  • 이중 모드 지원: 사용자가 두 가지 유형의 기하학적 분포 중에서 선택할 수 있습니다.
  • 정확한 결과: 정확하고 누적 확률을 정밀하게 계산합니다.
  • 단계별 설명: 사용자가 과정을 이해하는 데 도움이 되는 자세한 계산을 제공합니다.
  • 사용자 친화적인 인터페이스: 간단한 입력 필드와 직관적인 드롭다운으로 분포 유형 선택이 가능합니다.
  • 실시간 오류 처리: 잘못된 입력에 대해 사용자에게 경고하고 수정 방법을 안내합니다.

기하학적 분포 계산기 사용 방법

계산기를 효과적으로 사용하려면 다음 단계를 따르세요:

  1. 성공 확률(\( p \)) 입력: 0과 1 사이의 값을 입력합니다(예: 50%의 경우 0.5).
  2. 시행 횟수(\( X \)) 입력: 시행 횟수를 양의 정수로 제공합니다(예: 3).
  3. 분포 유형 선택: 드롭다운을 사용하여 \( X \)가 첫 번째 성공을 포함하는지 아니면 첫 번째 성공 이전의 실패만 계산하는지 지정합니다.
  4. 계산 클릭: "계산" 버튼을 눌러 결과를 계산하고 단계별 설명을 표시합니다.
  5. 입력 지우기: "지우기" 버튼을 사용하여 입력을 초기화하고 새 계산을 시작합니다.

기하학적 분포의 응용

기하학적 분포는 다음과 같은 다양한 분야에서 일반적으로 사용됩니다:

  • 품질 관리: 검사 중 결함 있는 항목을 발견할 가능성을 결정합니다.
  • 스포츠 분석: 특정 플레이에서 팀이 득점할 확률을 모델링합니다.
  • 고객 지원: 문제를 해결하는 데 필요한 전화 횟수를 예측합니다.
  • 재무: 이익을 위한 투자 횟수를 추정합니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

  • 성공 확률(\( p \))은 무엇을 나타내나요?
    성공 확률(\( p \))은 단일 시행에서 성공할 가능성입니다. 0과 1 사이의 값이어야 합니다.
  • 시행 횟수(\( X \))는 음수가 될 수 있나요?
    아니요, \( X \)는 시행 또는 실패의 수를 나타내므로 양의 정수여야 합니다.
  • 두 가지 분포 유형의 차이는 무엇인가요?
    유형 1에서는 \( X \)가 성공 시행을 포함합니다. 유형 2에서는 \( X \)가 성공 이전의 실패만 계산합니다.
  • 결과를 어떻게 해석하나요?
    결과는 특정 시행에서 성공을 달성할 확률(\( P(X = x) \))과 \( X \) 시행 내에서 성공의 누적 확률(\( P(X \leq x) \))을 보여줍니다.
  • 잘못된 입력을 입력하면 어떻게 되나요?
    계산기는 오류 메시지를 표시하고 입력을 수정하도록 안내합니다.