발산 계산기

분류：미적분학
- 2025년 9월 23일
| |

벡터 필드의 발산을 계산합니다. 발산은 "밀도"가 주어진 공간 영역에서 나가는 비율을 측정하며, 벡터 미적분학의 핵심 개념입니다.

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

벡터 필드 입력

표시 옵션

발산에 대하여

발산은 벡터 필드가 점에서 "흐르는" 경향을 측정하는 스칼라 양입니다. ∇·F (델 점 F) 또는 div F로 표시됩니다.

수학적 정의:

3D 데카르트 좌표계에서 벡터 필드 F = (F₁, F₂, F₃)의 발산은 다음과 같이 정의됩니다:

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z
물리적 해석:

발산은 점 주변의 작은 부피에서 필드의 순 흐름을 측정합니다. 주어진 점에서:

  • 양의 발산: 필드가 바깥쪽으로 흐름 (원천)
  • 음의 발산: 필드가 안쪽으로 흐름 (싱크)
  • 제로 발산: 필드에 순 유출 또는 유입이 없음 (비압축성)
다양한 좌표계에서의 발산:

데카르트 좌표계 (x, y, z):

∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

원통형 좌표계 (r, θ, z):

∇·F = (1/r) · ∂(r·Fr)/∂r + (1/r) · ∂Fθ/∂θ + ∂Fz/∂z

구형 좌표계 (ρ, θ, φ):

∇·F = (1/ρ²) · ∂(ρ²·Fρ)/∂ρ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂(sin(φ)·Fθ)/∂θ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂Fφ/∂φ
응용:
  • 전자기학: 가우스 법칙은 전기장 발산과 전하 밀도를 관련시킵니다
  • 유체 역학: 속도 필드의 발산은 유체의 압축성을 나타냅니다
  • 열 전달: 열 흐름의 발산은 열원 또는 싱크를 설명합니다
  • 양자 역학: 전류 밀도 발산은 전하 보존과 관련이 있습니다

발산 계산기: 설명 및 사용 가이드

발산 계산기는 3차원 벡터 필드의 발산을 계산하기 위해 설계된 인터랙티브 도구입니다. 벡터 필드 ( \mathbf{F}(x, y, z) )의 발산을 계산하고 시각화하는 직관적인 방법을 제공하며, 발산의 기호 표현과 특정 지점에서의 평가를 모두 제공합니다. 또한, 이 도구는 벡터 필드의 그래픽 시각화를 생성하여 사용자가 그 행동에 대한 더 깊은 통찰을 얻을 수 있도록 돕습니다.

발산이란 무엇인가?

발산은 주어진 지점에서 벡터 필드가 퍼지거나 수렴하는 속도를 측정하는 스칼라 양입니다. 수학적으로, 벡터 필드 ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} )의 발산은 다음과 같이 주어집니다:

[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} ]

  • 발산이 양수이면, 벡터 필드는 해당 지점에서 퍼지고 있습니다.
  • 발산이 음수이면, 벡터 필드는 해당 지점에서 수렴하고 있습니다.
  • 발산이 0이면, 필드는 해당 지점에서 솔레노이드라고 합니다.

이 계산기는 기호적 발산과 특정 지점에서 수치적으로 평가할 수 있는 옵션을 제공합니다.

발산 계산기의 특징

  • 기호적 발산: 벡터 필드 구성 요소의 편미분을 자동으로 계산하고 발산 방정식을 구성합니다.
  • 지점 평가: 특정 지점 ( (x, y, z) )에서 발산을 수치적으로 평가합니다.
  • 그래픽 시각화: Plotly의 인터랙티브 3D 플로팅 기능을 사용하여 벡터 필드의 3D 표현을 표시합니다.
  • 드롭다운 예제: 탐색을 위해 미리 정의된 벡터 필드의 예제를 빠르게 로드합니다.
  • 오류 처리: 유효하지 않거나 불완전한 입력이 우아하게 처리되도록 보장합니다.

발산 계산기 사용 방법

계산기를 효과적으로 사용하기 위해 다음 간단한 단계를 따르세요:

  1. 벡터 필드 입력:
  2. 벡터 필드의 ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ), ( R(x, y, z) ) 구성 요소를 각각의 입력 상자에 입력합니다.

  3. 예를 들어:

    • ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
    • ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
    • ( R(x, y, z) = e^z )

  4. 예제 선택:

  5. 드롭다운 메뉴를 사용하여 미리 정의된 벡터 필드의 예제를 로드합니다.

  6. 평가 지점 지정 (선택 사항):

  7. 특정 지점에서 발산을 평가하고 싶다면, 해당 필드에 ( x ), ( y ), ( z ) 값을 입력합니다.

  8. "계산" 클릭:

  9. 계산기는 다음을 수행합니다:

    • 기호적 발산을 계산합니다.
    • 지정된 지점에서 발산을 평가합니다 (제공된 경우).
    • 계산의 단계별 분석을 표시합니다.
    • 벡터 필드의 3D 시각화를 생성합니다.

  10. 입력 지우기:

  11. "지우기" 버튼을 사용하여 계산기를 초기화합니다.

예제 안내

예제 벡터 필드:

[ \mathbf{F}(x, y, z) = \sin(xy)\mathbf{i} + \cos(xy)\mathbf{j} + e^z\mathbf{k} ]

  1. 구성 요소 입력:
  2. ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
  3. ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )

  4. ( R(x, y, z) = e^z )

  5. "계산" 클릭. 계산기는:

  6. 편미분을 계산합니다:
    • ( \frac{\partial P}{\partial x} = y\cos(xy) )
    • ( \frac{\partial Q}{\partial y} = -x\sin(xy) )
    • ( \frac{\partial R}{\partial z} = e^z )
  7. 이를 결합하여 다음을 찾습니다: [ \text{div} \mathbf{F} = y\cos(xy) - x\sin(xy) + e^z ]

  8. 평가 지점 ( (x=1, y=1, z=0) )이 제공되면, 결과는 다음과 같이 평가됩니다: [ \text{div} \mathbf{F}(1, 1, 0) = 1\cdot \cos(1) - 1\cdot \sin(1) + e^0 = \cos(1) - \sin(1) + 1 \approx 1.5403 ]

  9. 그래프에서 생성된 3D 벡터 필드를 시각화합니다.

자주 묻는 질문

1. 벡터 필드 구성 요소에 대해 어떤 입력 형식이 지원되나요?

계산기는 ( x ), ( y ), ( z )에 대한 함수 형식을 지원합니다. 예제는 다음과 같습니다: - 다항식 함수: ( x^2, y^2 + z ) - 삼각 함수: ( \sin(xy), \cos(z) ) - 지수 함수: ( e^z, x \cdot e^y )

2. 평가 지점을 제공하지 않으면 어떻게 되나요?

평가 지점이 지정되지 않으면, 계산기는 기호적 발산 방정식만 표시합니다.

3. 이 계산기를 2D 벡터 필드에 사용할 수 있나요?

네, ( R(x, y, z) ) 구성 요소를 비워두거나 0으로 설정하면 됩니다.

4. 3D 벡터 필드 시각화는 어떻게 생성되나요?

계산기는 Plotly를 사용하여 인터랙티브한 3D 벡터 필드 그래프를 생성합니다. 각 화살표는 주어진 지점에서 필드의 방향과 크기를 나타냅니다.

5. 입력에 오류가 있는 경우 어떻게 하나요?

계산기는 누락된 구성 요소나 유효하지 않은 표현식과 같은 오류를 확인합니다. 설명적인 오류 메시지가 문제를 해결하는 데 도움을 줍니다.

요약

발산 계산기는 발산 계산을 자동화하고 명확한 시각적 표현을 제공함으로써 벡터 필드를 분석하는 과정을 단순화합니다. 학생, 교사 또는 전문가 누구에게나 이 도구는 3D 공간에서 벡터 필드의 행동에 대한 통찰을 얻는 데 적합합니다. 지금 탐색을 시작하여 이 강력한 계산기의 잠재력을 최대한 활용하세요!