삼중 적분 계산기

분류：미적분학

- 2025년 8월 21일

| |

3D 공간의 다양한 영역에서 삼중 적분을 계산하고 시각화합니다. 이 계산기는 적분 경계를 설정하고, 영역을 시각화하며, 결과를 계산하는 데 도움을 줍니다.

적분 설정

좌표계:

데카르트 (x,y,z)

원통 (r,θ,z)

구면 (ρ,θ,φ)

적분 함수:

데카르트의 경우 x, y, z 사용; 원통의 경우 r, theta, z 사용; 구면의 경우 rho, theta, phi 사용

적분 경계 (데카르트)

부터

현재 영역:

반지름 1의 상반구, 원점 중심

옵션

단계별 해법 보기

3D 시각화 보기

숫자 결과 계산

단계에서 값 대체

프리셋 영역

적분 결과

∭(x² + y² + z²) dxdydz

평가된 삼중 적분

2π/5

약 1.2566

단계별 해법

3D 영역 시각화

좌표계 변환

데카르트 좌표 (x, y, z)

x = x

y = y

z = z

부피 요소: dx dy dz

원통 좌표 (r, θ, z)

x = r cos(θ)

y = r sin(θ)

z = z

부피 요소: r dr dθ dz

구면 좌표 (ρ, θ, φ)

x = ρ sin(φ) cos(θ)

y = ρ sin(φ) sin(θ)

z = ρ cos(φ)

부피 요소: ρ² sin(φ) dρ dθ dφ

일반적인 삼중 적분

단위 구의 부피

∭ dx dy dz = 4π/3

영역: x² + y² + z² ≤ 1

단위 큐브의 부피

∭ dx dy dz = 1

영역: 0 ≤ x,y,z ≤ 1

원통의 부피

∭ dx dy dz = πh

영역: x² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ h

관성 모멘트 (구)

∭ (x² + y² + z²) dx dy dz = 4π/5

영역: x² + y² + z² ≤ 1

삼중 적분 이해하기

삼중 적분은 3차원 공간의 영역에서 함수의 부피 적분을 나타냅니다. 이는 단일 및 이중 적분의 개념을 3차원으로 확장합니다.

정의

3차원 공간의 영역 V에서 함수 f(x,y,z)의 삼중 적분은 다음과 같이 정의됩니다:

∭_V f(x,y,z) dV

이는 영역 V 전반에 걸쳐 f의 값의 합을 부피 요소 dV로 가중한 것을 나타냅니다.

다양한 좌표계

삼중 적분은 다양한 좌표계에서 평가될 수 있습니다:

데카르트: ∭ f(x,y,z) dx dy dz

원통: ∭ f(r,θ,z) r dr dθ dz

구면: ∭ f(ρ,θ,φ) ρ² sin(φ) dρ dθ dφ

좌표계의 선택은 문제의 대칭성과 일치해야 계산을 단순화할 수 있습니다.

응용

삼중 적분은 여러 가지 실용적인 응용이 있습니다:

복잡한 3D 형태의 부피 계산
고체 물체의 질량 중심 찾기
물리학에서 관성 모멘트 계산
영역 내의 총 전기 또는 중력 포텐셜 결정
유체 역학 및 전자기학 문제 해결

면책 조항: 이 계산기는 교육 목적으로 근사치를 제공합니다. 높은 정밀도가 필요한 중요한 응용의 경우, 전문 수학 소프트웨어로 결과를 확인하거나 전문 수학자와 상담하십시오.

삼중 적분 계산기란?

삼중 적분 계산기는 사용자가 삼중 적분을 평가하고 이해하는 데 도움을 주는 사용자 친화적인 온라인 도구입니다. 삼중 적분은 3차원 공간에서 표면 아래의 부피를 계산하는 방법입니다. 카르테시안, 원통형 또는 구형 좌표계를 사용하든 이 계산기를 통해 적분 함수 정의, 적분 경계 입력, 기호적 및 수치적 솔루션을 받을 수 있으며, 선택적으로 단계별 안내 및 3D 시각화를 제공합니다.

∭_V f(x, y, z) dV = ∫∫∫ f(x, y, z) dz dy dx

이 도구를 사용하는 이유는?

이 계산기는 학생, 교육자 및 전문가가 필요로 하는 유용한 도구입니다:

3D 공간에서 영역의 부피를 찾기
다양한 좌표계에서 적분 계산하기
적분 경계가 기하학적 형태와 어떻게 관련되는지 이해하기
적분 과정의 단계별 분석 받기
다변수 미적분학에 대한 직관을 키우기 위해 3D 영역 시각화하기

계산기 사용 방법

좌표계 선택: 영역의 형태에 따라 카르테시안 (x, y, z), 원통형 (r, θ, z) 또는 구형 (ρ, θ, φ) 중에서 선택합니다.
적분 함수 입력: 예를 들어, 카르테시안 좌표계에서 x^2 + y^2 + z^2와 같이 입력합니다.
적분 경계 지정: 각 변수에 대한 하한과 상한을 입력합니다. 단위 구 또는 원통과 같은 미리 설정된 형태를 사용할 수도 있습니다.
옵션 선택: 단계별 솔루션, 수치 결과 또는 시각화를 표시할지 여부를 전환합니다.
"적분 계산" 클릭: 결과를 보고 각 적분 단계의 분석을 확인하며, 활성화된 경우 3D 시각화와 상호작용합니다.

주요 기능

카르테시안, 원통형 및 구형 좌표 지원
기호적 및 수치적 결과 제공
일반적인 형태에 대한 미리 설정된 영역 포함
회전 및 확대가 가능한 3D 영역 시각화
학습을 위한 적분의 각 단계를 분석

자주 묻는 질문 (FAQ)

삼중 적분은 무엇에 사용되나요?

삼중 적분은 일반적으로 3차원 영역에서 부피, 질량 및 기타 양을 계산하는 데 사용됩니다. 이는 물리학, 공학 및 다변수 미적분학의 핵심 개념입니다.

어떤 좌표계를 선택해야 하나요?

영역의 대칭에 맞는 것을 사용하세요:

카르테시안 – 정육면체, 박스 및 직사각형 고체에 적합
원통형 – 원통 및 원형 형태에 적합
구형 – 구, 반구 및 방사 대칭에 적합

이 계산기가 단계를 보여줄 수 있나요?

네. "단계별 솔루션 표시" 옵션을 활성화하면 적분이 단계별로 진행되는 것을 볼 수 있어 학습 및 작업 확인에 이상적입니다.

수치 결과만 원하면 어떻게 하나요?

"수치 결과 계산"을 활성화하면 근사 소수 값을 얻을 수 있습니다. 이는 기호적 적분이 너무 복잡할 때 유용합니다.

교실에서 사용하기에 적합한가요?

절대적으로 그렇습니다. 이 계산기는 학생과 교육자가 문제를 연습하고, 숙제를 검증하거나 학습 세션 중에 사용하는 데 이상적입니다.

이 계산기가 도움이 되는 방법

부피를 계산하거나 물리적 시스템을 분석하거나 미적분학에 대한 이해를 깊이 있는 경우, 삼중 적분 계산기는 명확하고 실행 가능한 통찰력을 제공합니다. 이는 부분 도함수, 적분 기법 및 벡터 분석과 같은 다른 개념과 원활하게 작동하는 다변수 미적분학을 위한 실용적인 도구입니다.