역 라플라스 변환 계산기

분류：미적분학
- 2025년 8월 4일
| |

이 계산기는 함수 F(s)의 역 라플라스 변환을 찾습니다. 이는 함수들을 s-도메인에서 시간 도메인으로 변환하여 미분 방정식을 풀고 제어 시스템을 분석하는 데 유용합니다.

함수 입력

표시 옵션

역 라플라스 변환에 대하여

역 라플라스 변환은 함수를 s-도메인(주파수 도메인)에서 시간 도메인으로 변환합니다. 이는 미분 방정식을 풀고, 제어 시스템을 분석하며, 신호 처리를 위한 강력한 도구입니다.

주요 속성
  • 선형성: L-1{aF(s) + bG(s)} = aL-1{F(s)} + bL-1{G(s)}
  • 시간 이동: L-1{e-asF(s)} = f(t-a)u(t-a), 여기서 u는 단위 계단 함수입니다.
  • s-이동: L-1{F(s-a)} = eatf(t)
  • 스케일링: L-1{F(as)} = (1/a)f(t/a)
  • 미분: L-1{sF(s) - f(0)} = f'(t)
  • 적분: L-1{F(s)/s} = ∫0t f(τ) dτ
역 변환 찾기 방법
  • 부분 분수 분해: 복잡한 유리 함수를 알려진 역 변환을 가진 더 간단한 항으로 분해합니다.
  • 테이블 조회: 알려진 변환의 표준 형태와 비교합니다.
  • 속성 및 정리: 선형성, 시간 이동 또는 컨볼루션과 같은 속성을 적용합니다.
  • 복소 적분: 이론적 유도를 위해 브롬위치 적분을 사용합니다.
응용
  • 미분 방정식: s-도메인에서 시간 도메인으로 솔루션 변환.
  • 제어 시스템: 입력에 대한 시스템 응답 분석.
  • 회로 분석: 전기 회로의 시간 도메인 응답 찾기.
  • 신호 처리: 전달 함수를 임펄스 응답으로 변환.

역 라플라스 변환 계산기

역 라플라스 변환 계산기는 라플라스 도메인 함수의 시간 도메인 동등물을 계산하는 데 도움을 주는 직관적인 도구입니다. 물리학이나 공학에서 동적 시스템을 다루는 학생, 엔지니어 및 모든 사람에게 이상적입니다.

역 라플라스 변환이란 무엇인가요?

역 라플라스 변환은 라플라스 도메인에서의 함수 ( F(s) )를 해당하는 시간 도메인 함수 ( f(t) )로 변환합니다. 이는 미분 방정식을 해결하고, 제어 시스템을 분석하며, 신호 변환을 이해하는 데 특히 유용합니다.

예를 들어: - ( F(s) = \frac{1}{s} )일 때, 그 역 라플라스 변환은 ( f(t) = 1 )입니다. - ( F(s) = \frac{1}{s^2 + 1} )일 때, 역 라플라스 변환은 ( f(t) = \sin(t) )입니다.

계산기의 주요 기능

  • 인터랙티브 드롭다운:
  • ( \frac{1}{s} ) 또는 ( \frac{s}{s^2 + 1} )와 같은 일반적인 라플라스 함수를 선택하여 빠른 계산을 할 수 있습니다.
  • 유연한 입력:
  • ( \frac{5}{s^2 + 2s + 10} )와 같은 라플라스 도메인 함수를 입력할 수 있습니다.
  • 단계별 결과:
  • 쉽게 해석할 수 있도록 LaTeX 형식으로 역 라플라스 변환을 표시합니다.
  • 오류 처리:
  • 잘못되거나 지원되지 않는 입력에 대해 유용한 피드백을 제공합니다.
  • 초기화 옵션:
  • 한 번의 클릭으로 입력 필드를 초기화합니다.

계산기 사용 방법

단계별 가이드:

  1. 예제 선택 (선택 사항):
  2. 드롭다운 메뉴를 사용하여 ( \frac{1}{s} ) 또는 ( \frac{5}{s^2 + 2s + 10} )와 같은 미리 정의된 예제를 선택합니다.

  3. "예제 불러오기"를 클릭하여 입력 필드를 채웁니다.

  4. 함수 입력:

  5. 입력 상자에 ( 1/(s^2 + 1) )와 같은 라플라스 도메인 함수를 입력합니다.

  6. 계산:

  7. "계산"을 클릭하여 역 라플라스 변환을 계산합니다.

  8. 결과 보기:

  9. 계산기는 명확한 수학적 형식으로 시간 도메인 동등물을 표시합니다.

  10. 입력 초기화:

  11. "초기화"를 클릭하여 필드를 재설정하고 새 계산을 시작합니다.

예제 계산

예제 1: 기본 지수 함수

  • 입력: ( \frac{1}{s} )
  • 출력: ( f(t) = 1 )

예제 2: 코사인 함수

  • 입력: ( \frac{s}{s^2 + 1} )
  • 출력: ( f(t) = \cos(t) )

예제 3: 이차 예제

  • 입력: ( \frac{5}{s^2 + 2s + 10} )
  • 과정:
  • 완전 제곱: ( s^2 + 2s + 10 = (s+1)^2 + 9 ).
  • 결과: ( f(t) = 5e^{-t}\frac{\sin(3t)}{3} ).

자주 묻는 질문 (FAQ)

1. 라플라스 도메인이란 무엇인가요?

라플라스 도메인은 복소 변수 ( s )를 사용하여 함수를 표현하는 것입니다. 이는 미분 방정식을 대수 방정식으로 단순화하여 해결하는 데 자주 사용됩니다.

2. 이 계산기는 어떤 종류의 함수를 처리할 수 있나요?

계산기는 다음과 같은 다양한 함수를 지원합니다: - ( \frac{1}{s} ) 또는 ( \frac{s}{s^2 + 1} )와 같은 유리 함수. - ( \frac{5}{s^2 + 2s + 10} )와 같은 이차 분모.

3. 입력이 지원되지 않는 경우 어떻게 하나요?

계산기가 입력을 처리할 수 없는 경우 오류 메시지를 표시합니다. 함수가 표준 라플라스 변환 규칙을 따르는지 확인하세요.

4. 교육 목적으로 사용할 수 있나요?

네! 이 계산기는 라플라스 및 역 라플라스 변환을 배우는 학생들에게 완벽합니다.

5. 계산기는 오류를 어떻게 처리하나요?

"라플라스 도메인 함수를 제공하세요" 또는 "입력한 함수는 자동 역 라플라스 변환을 지원하지 않습니다"와 같은 명확한 피드백을 제공합니다.

역 라플라스 변환 계산기를 사용하는 이유는 무엇인가요?

  • 시간 절약: 역 라플라스 변환을 찾는 복잡한 과정을 자동화합니다.
  • 교육적: 시간 도메인 결과를 배우고 시각화하는 데 좋습니다.
  • 정확성: 수동 계산 오류를 줄입니다.

방정식을 해결하든 시스템을 분석하든, 이 계산기는 과정을 단순화하고 라플라스 변환에 대한 이해를 향상시킵니다. 오늘 사용해 보세요!