역도함수 계산기

분류：미적분학
- 2025년 9월 13일
| |

함수의 부정적분(원시함수)을 찾습니다. 이 계산기는 도함수로부터 원래 함수를 결정하는 데 도움을 줍니다.

입력 함수

표시 옵션

부정적분과 적분에 대하여

함수 f(x)의 부정적분(또는 원시함수)은 도함수가 f(x)인 함수 F(x)입니다. 다시 말해, F'(x) = f(x)일 때, F(x)는 f(x)의 부정적분입니다.

부정적분의 주요 성질
  • F(x)가 f(x)의 부정적분이라면, F(x) + C도 부정적분입니다. 여기서 C는 임의의 상수입니다.
  • 합의 부정적분은 부정적분의 합입니다: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
  • 상수 배수 법칙: ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx, 여기서 k는 상수입니다.
  • 거듭제곱 법칙: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, 여기서 n ≠ -1입니다.
  • e^x의 적분: ∫e^x dx = e^x + C
  • 1/x의 적분: ∫(1/x)dx = ln|x| + C
적분의 응용

부정적분과 적분은 다음과 같은 여러 응용이 있습니다:

  • 곡선 아래와 곡선 사이의 면적 찾기
  • 삼차원 물체의 부피 계산
  • 미분 방정식 풀기
  • 물리학 응용: 일, 에너지, 운동
  • 확률 및 통계
  • 공학: 응력 분석, 유체 역학 등

역도함수란 무엇인가?

역도함수는 주어진 함수의 역함수의 도함수를 계산하는 데 도움을 줍니다. 함수 ( f(x) )에 대해, 그 역함수의 도함수 ( f^{-1}(x) )는 다음 공식을 사용하여 결정됩니다:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

이 공식은 관계 ( f(f^(-1)(x)) = x )에서 유래합니다. 양쪽을 ( x )에 대해 미분하면 다음과 같습니다:

( f'(f^(-1)(x)) * (f^(-1)(x))' = 1 )

( (f^(-1)(x))' )에 대해 풀면 다음과 같습니다:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

이 개념은 특정 지점에서 역함수가 얼마나 빠르게 변화하는지를 분석하는 데 미적분학에서 특히 유용합니다.

역도함수 계산기의 특징

  • 상세 단계: 함수를 입력하고 ( x ) 값을 입력하여 단계별 상세 해결책을 확인하세요.
  • 예제 함수: ( f(x) = x^2 + 1 ), ( f(x) = e^x ) 또는 ( f(x) = ln(x) )와 같은 미리 로드된 함수로 계산기를 테스트하세요.
  • 그래픽 시각화: 계산기는 함수와 그 역도함수를 모두 플로팅합니다.

역도함수 계산기 사용 방법

  1. 함수 입력: 역도함수를 계산하고자 하는 함수 ( f(x) )를 입력하세요. 예: x^2 + 1 또는 e^x.
  2. ( x ) 값 지정: 역함수의 도함수를 계산하고자 하는 지점을 입력하세요.
  3. 계산 클릭: 결과와 함께 계산에 대한 상세 설명을 확인하세요.
  4. 미리 로드된 예제 탐색: 드롭다운 메뉴를 사용하여 예제 함수를 시도하고 계산기가 어떻게 작동하는지 확인하세요.

예제 walkthrough

( f(x) = x^2 + 1 )의 역도함수를 ( x = 2 )에서 계산하고자 한다고 가정해 보겠습니다:

  1. ( f(x) )의 도함수는:

( f'(x) = 2 * x )

  1. ( f'(2) )를 평가합니다:

( f'(2) = 2 * 2 = 4 )

  1. 역도함수 공식을 사용하여:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

( x = 2 )에서 역도함수는:

( (f^(-1)(2))' = 1 / 4 = 0.25 )

이 계산기를 사용함으로써 얻는 주요 이점

  • 복잡한 함수의 역도함수를 빠르게 계산합니다.
  • 인터랙티브 그래프에서 함수와 그 역도함수를 시각화합니다.
  • 단계별 해결책을 통해 과정을 이해합니다.